Cabri's role in the task of proving within the activity of building part of an axiomatic system

We want to show how we use the software Cabri, in a Geometry class for preservice mathematics teachers, in the process of building part of an axiomatic system of Euclidean Geometry. We will illustrate the type of tasks that engage students to discover the relationship between the steps of a geometric construction and the steps of a formal justification of the related geometric fact to understand the logical development of a proof; understand dependency relationships between properties; generate ideas that can be useful for a proof; produce conjectures that correspond to theorems of the system; and participate in the deductive organization of a set of statements obtained as solution to open-ended problems

Instrumented activity and semiotic mediation: two frames to describe the conjecture construction process as curricular organizer

We document part of the process through which conjectures produced by students, with the aid of the dynamic geometry software Cabri, when they solve proposed geometric problems, become a curriculum organizer in the classroom. We first focus on characterizing students’ instrumented activity recurring to utilization schema (Rabardel, 1995, in Bartolini Bussi and Mariotti, 2008), and then describe the teacher’s content management through which the ideas produced by the students become key elements of knowledge construction

Analyzing the proving activity of a group of three students

We present an analysis and outline an evaluation of the proving activity of a group of three university level students when solving a geometrical problem whose solution required the formulation of a conjecture and its justification within a specific theoretical system. To carry out the analysis, we used the model presented by Boero, Douek, Morselli and Pedemonte (2010) that centers on the arguments and rational behavior. Our analysis indicates that the student‘s proving activity is close to the one we used as a reference

Dynamic geometry, implication and abduction: a case study

In this paper we illustrate the role of dynamic geometry as an environment that propitiates the use of empirical explorations to favor learning to prove. This is possible thanks to abductive processes, related to the establishment of implications that university students of a plane geometry course carry out when, supported by a dynamic geometry program, they solve a problem in which they must discover a geometric fact, formulate a conjecture and prove it

Definiciones y construcción de significado en el marco de la actividad demostrativa

Partiendo de las premisas de que un tratamiento didáctico especial para las definiciones puede contribuir a la construcción de conocimiento y que el uso de una definición hace parte del significado del objeto definido, se presentan e ilustran tres aproximaciones a la enseñanza de las definiciones, que bien pueden ser adoptadas y adaptadas en la clase de geometría de los niveles elemental y medio. Por otra parte, se abordan el uso de las definiciones en la producción de demostraciones, para lo cual consideran dos situaciones: i) De un objeto específico (oi) se sabe que tiene algunas (no todas) propiedades que caracterizan a un cierto objeto genérico (O), y se quiere demostrar que en realidad oi es un caso de O; es decir, se requiere ir de las propiedades al objeto. ii) De un objeto específico (oi) se sabe que es un caso de un objeto genérico (O) y de tal premisa se requiere deducir nuevos pasos útiles para la demostración, es decir, se requiere hacer operativa la definición, yendo del objeto a las propiedades que su definición expresa, ajustándolas al contexto en el que se está trabajando para que sean provechosas para la demostración. La complejidad relativa a la enseñanza de las definiciones que se muestra en este artículo permite ver la necesidad de que el profesor se prepare adecuadamente para su quehacer profesional. Enseñar definiciones es mucho más que dictarlas y dar ejemplos del objeto definido

¿Argumentar para definir o definir para argumentar?

Se presenta y se ilustra un marco de referencia de un estudio en curso para obtener el título de Maestría en Docencia de la Matemática de la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia); estudio sobre la conexión entre las acciones de definir y argumentar, que puede contribuir a la práctica de profesores en ejercicio y en formación. La habilidad para construir una definición es un posible indicio de comprensión, mientras que saberla de memoria no garantiza la comprensión del concepto (Vinner, 1991). Por ello, se ha criticado la enseñanza de definiciones de geometría que no haga énfasis en el proceso subyacente de definir,lo cual favorece la argumentación. Según Kublikowski (2009), la definición y la argumentación están conectadas

Logros y desaciertos cuando se aprende a demostrar

Se presentan algunos de los resultados obtenidos en un estudio en el que se caracterizaron los argumentos de un grupo de estudiantes de educación básica secundaria cuando, en el marco de la actividad demostrativa, formularon una conjetura como respuesta a un problema y la justificaron. En particular, se muestran dos momentos que proporcionan evidencia de que los estudiantes entendieron qué es demostrar y cómo se construye una demostración, y de que el proceso vivido por uno de ellos se vio afectado por un conflicto epistémico

¿Es esto “machetear”?

Se documenta una estrategia espontánea de los estudiantes para demostrar la existencia de un objeto geométrico que cumple dos propiedades (R y S). La estrategia no es aceptable ya que al usarla no es posible obtener de manera matemáticamente válida lo que se propone lograr; consiste en considerar un objeto específico que cumple la propiedad R para luego tratar de demostrar que tal objeto cumple la propiedad S, siendo que la propiedad S no se puede deducir de la propiedad R pero lo contrario sí es posible. La problemática que se entrevé detrás de esta estrategia incluye el hecho de que los estudiantes pueden creer que considerar un objeto con la propiedad S desde el comienzo de la demostración es incurrir en una práctica no correcta desde la matemática porque es más exigente. Se señala la necesidad de una mediación del profesor planificada, con miras a no pretender que los estudiantes, motu proprio, reinventen adecuadamente el procedimiento para demostrar existencia sin que ello signifique excluirlos de su participación en el proceso de construcción de significado del procedimiento aceptable

Acciones del profesor que promueven actividad demostrativa con estudiantes de sexto grado

En este artículo, reporta resultados del trabajo de grado (Ospina & Plazas 2011) para optar por el título de magister en docencia de las Matemáticas, en la Universidad Pedagógica Nacional (UPN), elaborado por Tania Plazas y Tatiana Ospina, asesorado por Carmen Samper. En este se resaltan algunas de las acciones que la profesora realizó durante las clases de geometría de grado sexto, las cuales posiblemente favorecieron que los estudiantes realizarán actividad demostrativa. La actividad demostrativa, de acuerdo a la concepción asignada a ésta, por el grupo de investigación Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría, Æ•G, de la UPN, se convierte en una propuesta didáctica para otorgar a la demostración su presencia real en el aula de clase escolar

Use of dragging as organizer for conjecture validation

In this article, we report on a study centred on the teaching and learning of proof in which there is evidence that dragging becomes a source for significant student participation in the validation of conjectures. The findings highlight the teacher’s use of dragging as an organizer of the activity, in cases when there are conjectures that students consider acceptable but for which they do not have the theoretical elements to validate them